Fractal geometry provides a powerful tool for scale-free spatial modeling and analyses in geography. However, a number of basic concepts are puzzling. The three common fractals, that is, monofractal (unifractal), multifractals, and self-affine fractal, are often misunderstood by students of geography. This article clarifies some confusing fractal concepts for urban fractal modeling and fractal dimension analysis. Using simple mathematical models based on three growing fractals that bear an analogy to urban growth, we can distinguish the three types of common fractal structure. The similarities and differences between monofractal, multifractals, and self-affine fractal are as follows: 1) A monofractal is a simple self-similar fractal that bears only one scaling factor (scaling ratio), and a multifractal object is a complex fractal system that bears at least two scaling factors for different parts. Each scaling factor dominates all different scales and is independent of directions and levels. 2) A self-affine fractal bears different scaling factors in different directions of growth or at different levels of scales. The basic feature of self-affine growing fractal is anisotropy, which differs from the isotropic self-similar growing fractals. 3) Both self-affine fractal and multifractals may possess two scaling factors, but there are essential differences between self-affine fractals and multifractals. A self-affine fractal often takes on the form of bi-fractals, which can be reflected by two scaling ranges on a log-log plot. However, there is only one scaling range for a multifractal pattern. As an example, two-scaling fractal modeling is applied to the rank-size distributions of cities to illustrate the concept of urban multifractals. By comparison with these multifractal models, we can better understand monofractals and self-affine fractals in geographical research.
图1 用作各向同性城市生长模型的Vicsek自相似分形(前4步) 注:引自Jullien et al, 1987; Vicsek, 1989; Batty et al, 1994
Fig.1 A regular self-similar growing fractal that bears an analogy to isotropic urban growth (the first four steps)
1.2 各向异性的自仿射分形
自仿射分形是相对于自相似分形而言的。自相似是自仿射的特例,或者说自仿射是自相似的推广。自仿射分形的特点如下。其一,给人印象最深刻的,是各向异性(anisotropy)。也就是说,在彼此正交的方向上,分形生长的速率不同。其二,不同的延伸方向具有不同的标度因子。如果在二维嵌入空间中考察分形,则相互正交的方向只有两个。此时自仿射分形在不同的方向具有两个不同的标度率,从而可以视为存在两个标度因子。下面这个分形是Vicsek给出的一个自仿射生长分形,可以用于类比城市的自仿射扩展过程(Chen et al, 2009)(图2)。Vicsek自仿射分形在两个相互正交的方向上扩展速度不一样,水平方向比垂直方向扩展得快。从第二步即分形生成元可以看出,在不同的方向上,数目比都以7计算,但尺度比不同:水平方向一化为五,垂直方向一化为三。因此,水平方向的尺度比即标度因子是5,相应的分维D=ln7/ln5≈1.2091;垂直方向的尺度比是3,相应的分维是D=ln7/ln3≈1.7712。可见,这种分形在纵横两个方向需要两个维数来描述。
Fig.3 A growing multifractals that bears an analogy to complex urban growth (the first three steps)
多分形的刻画需要两套参数:全局参数(global parameter)和局部参数(local parameter)。全局参数在质上偏重整体,在量上偏重累计;局部参数在质上偏重部分(个体、单元、层次),在量上偏重变化(速度、密度)。全局参数包括广义关联维数(generalized correlation dimension)Dq和质量指数(mass exponent)τ(q),后者是一种特殊的全局标度指数;局部参数包括Lipschitz-Hölder奇异性指数(Lipschitz-Hölder exponent)α(q)和支持这个指数的分形集的分维(fractal dimension of support set)f(α(q)),前者是一个特殊的局部标度指数。这里参数q在统计学中叫做矩的阶次(order of moment),简称矩次。这两套参数可以借助Legendre变换联系起来:计算了全局参数,可以得到局部参数;计算了局部参数,可得全局参数。从这个意义上讲,两套参数理论上等价,但它们所反映的分形特征的角度不同。最基本的测度是广义关联维数,定义如下(Hentschel et al, 1983; Halsey et al, 1986; Feder, 1988)
这是一个简单的城市多分形模型,多分维谱的计算步骤如下:第一步,取定矩次范围和数值,利用式(16)计算质量指数τ(q);第二步,利用式(17)计算奇异性指数α(q);第三步,基于质量指数和奇异性指数,利用式(18)计算局部分维;第四步,基于奇异性指数和局部分维,利用式(19)计算广义关联维数。在第三步中,局部分维可以利用式(18)直接计算;在第四步中,可以利用式(19)基于质量指数计算广义关联维数,其中q=1时的信息维与质量指数无关,需要基于Shannon熵公式单独计算。部分结果如表2所示,广义关联维数和相关参数的变化图谱如图4所示,局部分维随奇异性指数而变化的单峰曲线如图5所示。根据观测数据估计参数a和b的数值,就可以将上述模型应用于现实的城市等级体系分析(Chen et al, 2004)。
Tab.2
表2
表2 城市规模分布分形的全局参数和局部参数谱(p=0.6,部分数值)
Tab.2 Partial values of the global and local parameters of the urban multifractals on rank-size distributions
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
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2007
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
The moran scatterplot as an ESDA tool to assess local instability in spatial association
... ).在空间自相关分析中,如果采用适当的阶梯函数构建空间权重矩阵,就可以建立Moran指数与关联维数的联系,从而将空间关联维数分析与空间自相关分析集成一个相辅相成的逻辑框架.关联维数属于广义分形参数之一,在地理空间分析中具有潜在的用途和广泛的开拓前景.空间异质性(spatial heterogeneity)源于区位的独特性,联系着地理学的核心概念——空间差异或区域差异(Anselin, 1996).空间异质性是近年来地理学讨论较多的概念,这可能与著名地理学家Harvey将其推荐为地理学第二定律的候选者有关(引自Tobler, 2004).很多学者将分形与空间异质性联系起来,但却引起一些歧义和误解.空间异质性涉及两个层次:一是区域空间(对应于分形的嵌入空间),二是地理系统(对应于分形体).如果一个城市是单分形结构,则城市形态是同质性的,因为不同局部的分维是一样的,但整个研究区域的空间却是异质性的,因为分维D不等于欧氏空间维数d=2;如果一个城市是多分形结构,则区域空间和城市形态都是异质性的,因为不同部分的分维不同,整个研究区域空间维数也不是2.科学家早就发现,多分形标度是描述空间异质性的强有力工具之一(Stanley et al, 1988).需要特别注意的是自仿射分形结构.一方面,不同方向的异质性会导致自仿射结构,这个问题容易理解,因为一个城市通常有自己主要的经济联系方向(周一星, 1998);另一方面,不同层次的异质性也会导致自仿射结构,如城区与郊区的结构性差异,地级城市系统与县级城市系统的结构性差异,都属于层次异质性问题,这种异质性会反映在分形的标度关系方面. ...
Multifractal characterization of the distribution pattern of the human population
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1996
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
Multifractal analysis of axial maps applied to the study of urban morphology
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2013
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
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1994
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
... 用作各向同性城市生长模型的Vicsek自相似分形(前4步) 注:引自Jullien et al, 1987; Vicsek, 1989; Batty et al, 1994 ...
... 理论上的分形具有无穷层次,不同层次之间形成标度对称关系.分形系统的本质是一种递阶结构的等级体系(Frankhauser, 1998),这种等级体系联系着复杂的网络结构,并且暗示地理系统的空间循环细分(Batty et al, 1994; Goodchild et al, 1987).虽然分形特征表现为幂律关系,但基于自相似等级体系可以将一个幂律分解为一对指数律(陈彦光, 2008).这种指数律可以借助最大熵原理推导出来(Chen, 2012a).这暗示,分形系统演化的动力学源泉可以从熵最大化的角度得到理解.复杂社会经济系统的熵最大化不同于热力学熵增(Batty, 2010; Wilson, 2000, 2010).熵最大化的本质是寻求个体(如单个城市)间的公平与整体(如城市体系)效率之间的一种平衡与协调状态(Chen, 2015).单一的地理最大熵过程不会导致无尺度的分形,只能导致有尺度的负指数分布.但是,两个对偶的、可以相互匹配和制衡的最大熵过程(如城市频率分布最大熵和城市素规模分布最大熵)却会激发幂律分布,从而涌现出分形结构(Chen, 2012a; Chen, 2015).可见,分形演化的机理在于,对立统一的熵最大化过程通过自组织演化趋近复杂系统的结构优化.分形的等级结构具有树状特征(Batty et al, 1994; Mandelbrot, 1982).近年Wang等(2012)学者提出城市演化树的概念和分析技术,并将其用于城市生长预测.分形城市思想可望与城市演化树分析结合起来,发展新的城市解释理论和预测方法,二者的连接点在于树的递阶结构和空间发育的集群状态.分维可为城市演化树提供定量描述测度,而城市演化树可为分形城市理论提供实用的可视化技术. ...
... ).可见,分形演化的机理在于,对立统一的熵最大化过程通过自组织演化趋近复杂系统的结构优化.分形的等级结构具有树状特征(Batty et al, 1994; Mandelbrot, 1982).近年Wang等(2012)学者提出城市演化树的概念和分析技术,并将其用于城市生长预测.分形城市思想可望与城市演化树分析结合起来,发展新的城市解释理论和预测方法,二者的连接点在于树的递阶结构和空间发育的集群状态.分维可为城市演化树提供定量描述测度,而城市演化树可为分形城市理论提供实用的可视化技术. ...
Space, scale, and scaling in entropy maximizing
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2010
... 理论上的分形具有无穷层次,不同层次之间形成标度对称关系.分形系统的本质是一种递阶结构的等级体系(Frankhauser, 1998),这种等级体系联系着复杂的网络结构,并且暗示地理系统的空间循环细分(Batty et al, 1994; Goodchild et al, 1987).虽然分形特征表现为幂律关系,但基于自相似等级体系可以将一个幂律分解为一对指数律(陈彦光, 2008).这种指数律可以借助最大熵原理推导出来(Chen, 2012a).这暗示,分形系统演化的动力学源泉可以从熵最大化的角度得到理解.复杂社会经济系统的熵最大化不同于热力学熵增(Batty, 2010; Wilson, 2000, 2010).熵最大化的本质是寻求个体(如单个城市)间的公平与整体(如城市体系)效率之间的一种平衡与协调状态(Chen, 2015).单一的地理最大熵过程不会导致无尺度的分形,只能导致有尺度的负指数分布.但是,两个对偶的、可以相互匹配和制衡的最大熵过程(如城市频率分布最大熵和城市素规模分布最大熵)却会激发幂律分布,从而涌现出分形结构(Chen, 2012a; Chen, 2015).可见,分形演化的机理在于,对立统一的熵最大化过程通过自组织演化趋近复杂系统的结构优化.分形的等级结构具有树状特征(Batty et al, 1994; Mandelbrot, 1982).近年Wang等(2012)学者提出城市演化树的概念和分析技术,并将其用于城市生长预测.分形城市思想可望与城市演化树分析结合起来,发展新的城市解释理论和预测方法,二者的连接点在于树的递阶结构和空间发育的集群状态.分维可为城市演化树提供定量描述测度,而城市演化树可为分形城市理论提供实用的可视化技术. ...
The dynamics of the Tel Aviv morphology
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2006
... 目前,在文献中,关于自仿射分形存在两个突出的误会.第一,自仿射记录维数与自相似轨迹维数存在混淆.由于无意中混淆概念的是一些著名学者(Goodchild, 1980; Goodchild et al, 1987),其误导作用就非常显著了.如果一个系统演化具有布朗运动(Brownian motion)或者分数布朗运动(fractional Brownian motion, fBm)的随机性,则可以利用谱分析(spectral analysis)或者R/S分析等方法估计一个自仿射记录维数(self-affine record dimension)(Feder, 1988).当这个维数值为1.5时,相应的Hurst指数为0.5,这暗示一种布朗运动(Hurst et al, 1965).对于这类运动,系统变化率前后不相关,即演变过程没有记忆.这是一个很随机的、无法预测过程.股市涨落的曲线就属于这种过程.有学者由此联想到,这是一个不稳定的过程,基于这种思想定义了一个不稳定指数.目前在城市形态、生态学的斑块分布等研究中,常用到这个不稳定指数.人们首先基于城市或者生态斑块的面积-周长标度关系估计边长的维数,如果这个维数值接近于1.5,就被认为系统不稳定.可是,这个判断的背后有三个误会.其一,基于面积-周长标度估计的维数是一种自相似轨迹维数(self-similar trail dimension)(Feder, 1988),其数值等于1.5,与系统稳定与否没有关系.之所以形成上述错误结论,是因为人们将自相似轨迹维数与前述自仿射记录维数混淆了.其二,即便自仿射记录维数等于1.5,也没有足够的证据表明系统一定不稳定.其三,利用面积-周长标度关系估计分维值,目前技术不成熟.人们估计的结果通常只是一种标度指数,代表两个维数的比率,不是严格意义的斑块分形线的维数值(Cheng, 1995; Imre等, 2004; Benguigui et al, 2006; Chen, 2011).第二,自仿射分形与双分形的关系没有澄清.而且,双分形概念引起了更多的误会.对于理论意义的数学分形,如果采用恰到好处的方式进行测量,则在双对数坐标图,尺度(如长度)-测度(面积、数目等)之间的标度关系表现为一条直线.对于现实中的类似分形的物体如城市,测量结果在双对数坐标图上表现为一个显著的直线区段:尺度太小或者太大都表现为曲线,中间一段为直线,叫做标度区(scaling range).可是,有时候,在双对数坐标图上,尺度与测度关系表现为两个直线段,人们称此种现象为“双分形”,不同的直线段的斜率给出不同的分维值.不过,这里可能存在较大的误会,因为这违背了维数一致性公理.对于一个几何体,在给定的方面,它的维数是唯一的,不可能同时存在两个以上的维数.双分形的本质可能在于自仿射分形.如果采用面积-半径标度对图2所示的自仿射分形,将会在双对数坐标图中得到一个双标度图式,即两个直线段,与人们通常所谓的双分形一样.各向异性是双分形的根源之一,主要影响因素有三:其一,不同方向生长概率不同,从而标度率不同(各向异性);其二,不同层次生长概率不同,从而标度率不同(各层异性);其三,不同区域生长概率不同,从而标度率不同(各区异性).更糟糕的是,有人据此联想,如果尺度-测度双对数坐标图给出了一条曲线,岂不意味着多分形吗?实际上,如果尺度-测度关系在双对数坐标图上表现为曲线趋势,那就表明不存在分维关系. ...
Is the suburban railway system a fractal?
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1991
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
Derivation of the functional relations between fractal dimension and shape indices of urban form
1
2011
... 目前,在文献中,关于自仿射分形存在两个突出的误会.第一,自仿射记录维数与自相似轨迹维数存在混淆.由于无意中混淆概念的是一些著名学者(Goodchild, 1980; Goodchild et al, 1987),其误导作用就非常显著了.如果一个系统演化具有布朗运动(Brownian motion)或者分数布朗运动(fractional Brownian motion, fBm)的随机性,则可以利用谱分析(spectral analysis)或者R/S分析等方法估计一个自仿射记录维数(self-affine record dimension)(Feder, 1988).当这个维数值为1.5时,相应的Hurst指数为0.5,这暗示一种布朗运动(Hurst et al, 1965).对于这类运动,系统变化率前后不相关,即演变过程没有记忆.这是一个很随机的、无法预测过程.股市涨落的曲线就属于这种过程.有学者由此联想到,这是一个不稳定的过程,基于这种思想定义了一个不稳定指数.目前在城市形态、生态学的斑块分布等研究中,常用到这个不稳定指数.人们首先基于城市或者生态斑块的面积-周长标度关系估计边长的维数,如果这个维数值接近于1.5,就被认为系统不稳定.可是,这个判断的背后有三个误会.其一,基于面积-周长标度估计的维数是一种自相似轨迹维数(self-similar trail dimension)(Feder, 1988),其数值等于1.5,与系统稳定与否没有关系.之所以形成上述错误结论,是因为人们将自相似轨迹维数与前述自仿射记录维数混淆了.其二,即便自仿射记录维数等于1.5,也没有足够的证据表明系统一定不稳定.其三,利用面积-周长标度关系估计分维值,目前技术不成熟.人们估计的结果通常只是一种标度指数,代表两个维数的比率,不是严格意义的斑块分形线的维数值(Cheng, 1995; Imre等, 2004; Benguigui et al, 2006; Chen, 2011).第二,自仿射分形与双分形的关系没有澄清.而且,双分形概念引起了更多的误会.对于理论意义的数学分形,如果采用恰到好处的方式进行测量,则在双对数坐标图,尺度(如长度)-测度(面积、数目等)之间的标度关系表现为一条直线.对于现实中的类似分形的物体如城市,测量结果在双对数坐标图上表现为一个显著的直线区段:尺度太小或者太大都表现为曲线,中间一段为直线,叫做标度区(scaling range).可是,有时候,在双对数坐标图上,尺度与测度关系表现为两个直线段,人们称此种现象为“双分形”,不同的直线段的斜率给出不同的分维值.不过,这里可能存在较大的误会,因为这违背了维数一致性公理.对于一个几何体,在给定的方面,它的维数是唯一的,不可能同时存在两个以上的维数.双分形的本质可能在于自仿射分形.如果采用面积-半径标度对图2所示的自仿射分形,将会在双对数坐标图中得到一个双标度图式,即两个直线段,与人们通常所谓的双分形一样.各向异性是双分形的根源之一,主要影响因素有三:其一,不同方向生长概率不同,从而标度率不同(各向异性);其二,不同层次生长概率不同,从而标度率不同(各层异性);其三,不同区域生长概率不同,从而标度率不同(各区异性).更糟糕的是,有人据此联想,如果尺度-测度双对数坐标图给出了一条曲线,岂不意味着多分形吗?实际上,如果尺度-测度关系在双对数坐标图上表现为曲线趋势,那就表明不存在分维关系. ...
The rank-size scaling law and entropy-maximizing principle
2
2012
... 理论上的分形具有无穷层次,不同层次之间形成标度对称关系.分形系统的本质是一种递阶结构的等级体系(Frankhauser, 1998),这种等级体系联系着复杂的网络结构,并且暗示地理系统的空间循环细分(Batty et al, 1994; Goodchild et al, 1987).虽然分形特征表现为幂律关系,但基于自相似等级体系可以将一个幂律分解为一对指数律(陈彦光, 2008).这种指数律可以借助最大熵原理推导出来(Chen, 2012a).这暗示,分形系统演化的动力学源泉可以从熵最大化的角度得到理解.复杂社会经济系统的熵最大化不同于热力学熵增(Batty, 2010; Wilson, 2000, 2010).熵最大化的本质是寻求个体(如单个城市)间的公平与整体(如城市体系)效率之间的一种平衡与协调状态(Chen, 2015).单一的地理最大熵过程不会导致无尺度的分形,只能导致有尺度的负指数分布.但是,两个对偶的、可以相互匹配和制衡的最大熵过程(如城市频率分布最大熵和城市素规模分布最大熵)却会激发幂律分布,从而涌现出分形结构(Chen, 2012a; Chen, 2015).可见,分形演化的机理在于,对立统一的熵最大化过程通过自组织演化趋近复杂系统的结构优化.分形的等级结构具有树状特征(Batty et al, 1994; Mandelbrot, 1982).近年Wang等(2012)学者提出城市演化树的概念和分析技术,并将其用于城市生长预测.分形城市思想可望与城市演化树分析结合起来,发展新的城市解释理论和预测方法,二者的连接点在于树的递阶结构和空间发育的集群状态.分维可为城市演化树提供定量描述测度,而城市演化树可为分形城市理论提供实用的可视化技术. ...
Modeling the self-affine structure and optimization conditions of city systems using the idea from fractals
2
2009
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
... 自仿射分形是相对于自相似分形而言的.自相似是自仿射的特例,或者说自仿射是自相似的推广.自仿射分形的特点如下.其一,给人印象最深刻的,是各向异性(anisotropy).也就是说,在彼此正交的方向上,分形生长的速率不同.其二,不同的延伸方向具有不同的标度因子.如果在二维嵌入空间中考察分形,则相互正交的方向只有两个.此时自仿射分形在不同的方向具有两个不同的标度率,从而可以视为存在两个标度因子.下面这个分形是Vicsek给出的一个自仿射生长分形,可以用于类比城市的自仿射扩展过程(Chen et al, 2009)(图2).Vicsek自仿射分形在两个相互正交的方向上扩展速度不一样,水平方向比垂直方向扩展得快.从第二步即分形生成元可以看出,在不同的方向上,数目比都以7计算,但尺度比不同:水平方向一化为五,垂直方向一化为三.因此,水平方向的尺度比即标度因子是5,相应的分维D=ln7/ln5≈1.2091;垂直方向的尺度比是3,相应的分维是D=ln7/ln3≈1.7712.可见,这种分形在纵横两个方向需要两个维数来描述. ...
Multifractal characterization of urban form and growth: The case of Beijing
1
2013
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
The rank-size rule and fractal hierarchies of cities: Mathematical models and empirical analyses
Multi-fractal measures of city-size distributions based on the three-parameter Zipf model
3
2004
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
... Zipf定律、Pareto分布和Davis二倍数法则分别提供了人们认识城市等级体系的一个模型,这些模型在理论上等价或者逻辑上相关,在经验分析过程中各有自己的分析角度.然而,它们揭示的信息往往有限.真实的城市位序-规模分布可能并非只有一个标度因子的简单递阶结构,而是具有两个乃至更多的标度因子的复杂递阶结构.如果这样,则可以建立多分形城市位序-规模分布模型.假定城市等级体系自上而下按照二倍数法则一分为二、二分为四、四分为八,如此下去,直到囊括所有城市.如果第一级的1个城市规模为1单位,理想的情况下第二级的2个城市规模分别为a=p、b=1-p,第三级的4个城市规模为aa、ab、ba、bb,第四级的8个城市规模为aaa、aab、aba、abb、baa、bab、bba、bbb,如此等等.这样可得到一个双标度的多分形递阶结构(Chen et al, 2004; Chen, 2012b).参数a和b各代表一个标度因子,但彼此有关.质量指数可表示为: ...
... 这是一个简单的城市多分形模型,多分维谱的计算步骤如下:第一步,取定矩次范围和数值,利用式(16)计算质量指数τ(q);第二步,利用式(17)计算奇异性指数α(q);第三步,基于质量指数和奇异性指数,利用式(18)计算局部分维;第四步,基于奇异性指数和局部分维,利用式(19)计算广义关联维数.在第三步中,局部分维可以利用式(18)直接计算;在第四步中,可以利用式(19)基于质量指数计算广义关联维数,其中q=1时的信息维与质量指数无关,需要基于Shannon熵公式单独计算.部分结果如表2所示,广义关联维数和相关参数的变化图谱如图4所示,局部分维随奇异性指数而变化的单峰曲线如图5所示.根据观测数据估计参数a和b的数值,就可以将上述模型应用于现实的城市等级体系分析(Chen et al, 2004). ...
The perimeter-area fractal model and its application in geology
1
1995
... 目前,在文献中,关于自仿射分形存在两个突出的误会.第一,自仿射记录维数与自相似轨迹维数存在混淆.由于无意中混淆概念的是一些著名学者(Goodchild, 1980; Goodchild et al, 1987),其误导作用就非常显著了.如果一个系统演化具有布朗运动(Brownian motion)或者分数布朗运动(fractional Brownian motion, fBm)的随机性,则可以利用谱分析(spectral analysis)或者R/S分析等方法估计一个自仿射记录维数(self-affine record dimension)(Feder, 1988).当这个维数值为1.5时,相应的Hurst指数为0.5,这暗示一种布朗运动(Hurst et al, 1965).对于这类运动,系统变化率前后不相关,即演变过程没有记忆.这是一个很随机的、无法预测过程.股市涨落的曲线就属于这种过程.有学者由此联想到,这是一个不稳定的过程,基于这种思想定义了一个不稳定指数.目前在城市形态、生态学的斑块分布等研究中,常用到这个不稳定指数.人们首先基于城市或者生态斑块的面积-周长标度关系估计边长的维数,如果这个维数值接近于1.5,就被认为系统不稳定.可是,这个判断的背后有三个误会.其一,基于面积-周长标度估计的维数是一种自相似轨迹维数(self-similar trail dimension)(Feder, 1988),其数值等于1.5,与系统稳定与否没有关系.之所以形成上述错误结论,是因为人们将自相似轨迹维数与前述自仿射记录维数混淆了.其二,即便自仿射记录维数等于1.5,也没有足够的证据表明系统一定不稳定.其三,利用面积-周长标度关系估计分维值,目前技术不成熟.人们估计的结果通常只是一种标度指数,代表两个维数的比率,不是严格意义的斑块分形线的维数值(Cheng, 1995; Imre等, 2004; Benguigui et al, 2006; Chen, 2011).第二,自仿射分形与双分形的关系没有澄清.而且,双分形概念引起了更多的误会.对于理论意义的数学分形,如果采用恰到好处的方式进行测量,则在双对数坐标图,尺度(如长度)-测度(面积、数目等)之间的标度关系表现为一条直线.对于现实中的类似分形的物体如城市,测量结果在双对数坐标图上表现为一个显著的直线区段:尺度太小或者太大都表现为曲线,中间一段为直线,叫做标度区(scaling range).可是,有时候,在双对数坐标图上,尺度与测度关系表现为两个直线段,人们称此种现象为“双分形”,不同的直线段的斜率给出不同的分维值.不过,这里可能存在较大的误会,因为这违背了维数一致性公理.对于一个几何体,在给定的方面,它的维数是唯一的,不可能同时存在两个以上的维数.双分形的本质可能在于自仿射分形.如果采用面积-半径标度对图2所示的自仿射分形,将会在双对数坐标图中得到一个双标度图式,即两个直线段,与人们通常所谓的双分形一样.各向异性是双分形的根源之一,主要影响因素有三:其一,不同方向生长概率不同,从而标度率不同(各向异性);其二,不同层次生长概率不同,从而标度率不同(各层异性);其三,不同区域生长概率不同,从而标度率不同(各区异性).更糟糕的是,有人据此联想,如果尺度-测度双对数坐标图给出了一条曲线,岂不意味着多分形吗?实际上,如果尺度-测度关系在双对数坐标图上表现为曲线趋势,那就表明不存在分维关系. ...
From cellular automata to urban models: New principles for model development and implementation
... 多分形的刻画需要两套参数:全局参数(global parameter)和局部参数(local parameter).全局参数在质上偏重整体,在量上偏重累计;局部参数在质上偏重部分(个体、单元、层次),在量上偏重变化(速度、密度).全局参数包括广义关联维数(generalized correlation dimension)Dq和质量指数(mass exponent)τ(q),后者是一种特殊的全局标度指数;局部参数包括Lipschitz-Hölder奇异性指数(Lipschitz-Hölder exponent)α(q)和支持这个指数的分形集的分维(fractal dimension of support set)f(α(q)),前者是一个特殊的局部标度指数.这里参数q在统计学中叫做矩的阶次(order of moment),简称矩次.这两套参数可以借助Legendre变换联系起来:计算了全局参数,可以得到局部参数;计算了局部参数,可得全局参数.从这个意义上讲,两套参数理论上等价,但它们所反映的分形特征的角度不同.最基本的测度是广义关联维数,定义如下(Hentschel et al, 1983; Halsey et al, 1986; Feder, 1988) ...
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
The fractal approach: A new tool for the spatial analysis of urban agglomerations
Fractal measure and their singularities: The characterization of strange sets
1
1986
... 多分形的刻画需要两套参数:全局参数(global parameter)和局部参数(local parameter).全局参数在质上偏重整体,在量上偏重累计;局部参数在质上偏重部分(个体、单元、层次),在量上偏重变化(速度、密度).全局参数包括广义关联维数(generalized correlation dimension)Dq和质量指数(mass exponent)τ(q),后者是一种特殊的全局标度指数;局部参数包括Lipschitz-Hölder奇异性指数(Lipschitz-Hölder exponent)α(q)和支持这个指数的分形集的分维(fractal dimension of support set)f(α(q)),前者是一个特殊的局部标度指数.这里参数q在统计学中叫做矩的阶次(order of moment),简称矩次.这两套参数可以借助Legendre变换联系起来:计算了全局参数,可以得到局部参数;计算了局部参数,可得全局参数.从这个意义上讲,两套参数理论上等价,但它们所反映的分形特征的角度不同.最基本的测度是广义关联维数,定义如下(Hentschel et al, 1983; Halsey et al, 1986; Feder, 1988) ...
The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors
1
1983
... 多分形的刻画需要两套参数:全局参数(global parameter)和局部参数(local parameter).全局参数在质上偏重整体,在量上偏重累计;局部参数在质上偏重部分(个体、单元、层次),在量上偏重变化(速度、密度).全局参数包括广义关联维数(generalized correlation dimension)Dq和质量指数(mass exponent)τ(q),后者是一种特殊的全局标度指数;局部参数包括Lipschitz-Hölder奇异性指数(Lipschitz-Hölder exponent)α(q)和支持这个指数的分形集的分维(fractal dimension of support set)f(α(q)),前者是一个特殊的局部标度指数.这里参数q在统计学中叫做矩的阶次(order of moment),简称矩次.这两套参数可以借助Legendre变换联系起来:计算了全局参数,可以得到局部参数;计算了局部参数,可得全局参数.从这个意义上讲,两套参数理论上等价,但它们所反映的分形特征的角度不同.最基本的测度是广义关联维数,定义如下(Hentschel et al, 1983; Halsey et al, 1986; Feder, 1988) ...
Long-term storage: An experimental study
1
1965
... 目前,在文献中,关于自仿射分形存在两个突出的误会.第一,自仿射记录维数与自相似轨迹维数存在混淆.由于无意中混淆概念的是一些著名学者(Goodchild, 1980; Goodchild et al, 1987),其误导作用就非常显著了.如果一个系统演化具有布朗运动(Brownian motion)或者分数布朗运动(fractional Brownian motion, fBm)的随机性,则可以利用谱分析(spectral analysis)或者R/S分析等方法估计一个自仿射记录维数(self-affine record dimension)(Feder, 1988).当这个维数值为1.5时,相应的Hurst指数为0.5,这暗示一种布朗运动(Hurst et al, 1965).对于这类运动,系统变化率前后不相关,即演变过程没有记忆.这是一个很随机的、无法预测过程.股市涨落的曲线就属于这种过程.有学者由此联想到,这是一个不稳定的过程,基于这种思想定义了一个不稳定指数.目前在城市形态、生态学的斑块分布等研究中,常用到这个不稳定指数.人们首先基于城市或者生态斑块的面积-周长标度关系估计边长的维数,如果这个维数值接近于1.5,就被认为系统不稳定.可是,这个判断的背后有三个误会.其一,基于面积-周长标度估计的维数是一种自相似轨迹维数(self-similar trail dimension)(Feder, 1988),其数值等于1.5,与系统稳定与否没有关系.之所以形成上述错误结论,是因为人们将自相似轨迹维数与前述自仿射记录维数混淆了.其二,即便自仿射记录维数等于1.5,也没有足够的证据表明系统一定不稳定.其三,利用面积-周长标度关系估计分维值,目前技术不成熟.人们估计的结果通常只是一种标度指数,代表两个维数的比率,不是严格意义的斑块分形线的维数值(Cheng, 1995; Imre等, 2004; Benguigui et al, 2006; Chen, 2011).第二,自仿射分形与双分形的关系没有澄清.而且,双分形概念引起了更多的误会.对于理论意义的数学分形,如果采用恰到好处的方式进行测量,则在双对数坐标图,尺度(如长度)-测度(面积、数目等)之间的标度关系表现为一条直线.对于现实中的类似分形的物体如城市,测量结果在双对数坐标图上表现为一个显著的直线区段:尺度太小或者太大都表现为曲线,中间一段为直线,叫做标度区(scaling range).可是,有时候,在双对数坐标图上,尺度与测度关系表现为两个直线段,人们称此种现象为“双分形”,不同的直线段的斜率给出不同的分维值.不过,这里可能存在较大的误会,因为这违背了维数一致性公理.对于一个几何体,在给定的方面,它的维数是唯一的,不可能同时存在两个以上的维数.双分形的本质可能在于自仿射分形.如果采用面积-半径标度对图2所示的自仿射分形,将会在双对数坐标图中得到一个双标度图式,即两个直线段,与人们通常所谓的双分形一样.各向异性是双分形的根源之一,主要影响因素有三:其一,不同方向生长概率不同,从而标度率不同(各向异性);其二,不同层次生长概率不同,从而标度率不同(各层异性);其三,不同区域生长概率不同,从而标度率不同(各区异性).更糟糕的是,有人据此联想,如果尺度-测度双对数坐标图给出了一条曲线,岂不意味着多分形吗?实际上,如果尺度-测度关系在双对数坐标图上表现为曲线趋势,那就表明不存在分维关系. ...
The fractal dimension as a measure of the quality of habitat
1
2004
... 目前,在文献中,关于自仿射分形存在两个突出的误会.第一,自仿射记录维数与自相似轨迹维数存在混淆.由于无意中混淆概念的是一些著名学者(Goodchild, 1980; Goodchild et al, 1987),其误导作用就非常显著了.如果一个系统演化具有布朗运动(Brownian motion)或者分数布朗运动(fractional Brownian motion, fBm)的随机性,则可以利用谱分析(spectral analysis)或者R/S分析等方法估计一个自仿射记录维数(self-affine record dimension)(Feder, 1988).当这个维数值为1.5时,相应的Hurst指数为0.5,这暗示一种布朗运动(Hurst et al, 1965).对于这类运动,系统变化率前后不相关,即演变过程没有记忆.这是一个很随机的、无法预测过程.股市涨落的曲线就属于这种过程.有学者由此联想到,这是一个不稳定的过程,基于这种思想定义了一个不稳定指数.目前在城市形态、生态学的斑块分布等研究中,常用到这个不稳定指数.人们首先基于城市或者生态斑块的面积-周长标度关系估计边长的维数,如果这个维数值接近于1.5,就被认为系统不稳定.可是,这个判断的背后有三个误会.其一,基于面积-周长标度估计的维数是一种自相似轨迹维数(self-similar trail dimension)(Feder, 1988),其数值等于1.5,与系统稳定与否没有关系.之所以形成上述错误结论,是因为人们将自相似轨迹维数与前述自仿射记录维数混淆了.其二,即便自仿射记录维数等于1.5,也没有足够的证据表明系统一定不稳定.其三,利用面积-周长标度关系估计分维值,目前技术不成熟.人们估计的结果通常只是一种标度指数,代表两个维数的比率,不是严格意义的斑块分形线的维数值(Cheng, 1995; Imre等, 2004; Benguigui et al, 2006; Chen, 2011).第二,自仿射分形与双分形的关系没有澄清.而且,双分形概念引起了更多的误会.对于理论意义的数学分形,如果采用恰到好处的方式进行测量,则在双对数坐标图,尺度(如长度)-测度(面积、数目等)之间的标度关系表现为一条直线.对于现实中的类似分形的物体如城市,测量结果在双对数坐标图上表现为一个显著的直线区段:尺度太小或者太大都表现为曲线,中间一段为直线,叫做标度区(scaling range).可是,有时候,在双对数坐标图上,尺度与测度关系表现为两个直线段,人们称此种现象为“双分形”,不同的直线段的斜率给出不同的分维值.不过,这里可能存在较大的误会,因为这违背了维数一致性公理.对于一个几何体,在给定的方面,它的维数是唯一的,不可能同时存在两个以上的维数.双分形的本质可能在于自仿射分形.如果采用面积-半径标度对图2所示的自仿射分形,将会在双对数坐标图中得到一个双标度图式,即两个直线段,与人们通常所谓的双分形一样.各向异性是双分形的根源之一,主要影响因素有三:其一,不同方向生长概率不同,从而标度率不同(各向异性);其二,不同层次生长概率不同,从而标度率不同(各层异性);其三,不同区域生长概率不同,从而标度率不同(各区异性).更糟糕的是,有人据此联想,如果尺度-测度双对数坐标图给出了一条曲线,岂不意味着多分形吗?实际上,如果尺度-测度关系在双对数坐标图上表现为曲线趋势,那就表明不存在分维关系. ...
... 用作各向同性城市生长模型的Vicsek自相似分形(前4步) 注:引自Jullien et al, 1987; Vicsek, 1989; Batty et al, 1994 ...
Fractals in geography
1
1993
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
The size, shape and dimension of urban settlements
... 理论上的分形具有无穷层次,不同层次之间形成标度对称关系.分形系统的本质是一种递阶结构的等级体系(Frankhauser, 1998),这种等级体系联系着复杂的网络结构,并且暗示地理系统的空间循环细分(Batty et al, 1994; Goodchild et al, 1987).虽然分形特征表现为幂律关系,但基于自相似等级体系可以将一个幂律分解为一对指数律(陈彦光, 2008).这种指数律可以借助最大熵原理推导出来(Chen, 2012a).这暗示,分形系统演化的动力学源泉可以从熵最大化的角度得到理解.复杂社会经济系统的熵最大化不同于热力学熵增(Batty, 2010; Wilson, 2000, 2010).熵最大化的本质是寻求个体(如单个城市)间的公平与整体(如城市体系)效率之间的一种平衡与协调状态(Chen, 2015).单一的地理最大熵过程不会导致无尺度的分形,只能导致有尺度的负指数分布.但是,两个对偶的、可以相互匹配和制衡的最大熵过程(如城市频率分布最大熵和城市素规模分布最大熵)却会激发幂律分布,从而涌现出分形结构(Chen, 2012a; Chen, 2015).可见,分形演化的机理在于,对立统一的熵最大化过程通过自组织演化趋近复杂系统的结构优化.分形的等级结构具有树状特征(Batty et al, 1994; Mandelbrot, 1982).近年Wang等(2012)学者提出城市演化树的概念和分析技术,并将其用于城市生长预测.分形城市思想可望与城市演化树分析结合起来,发展新的城市解释理论和预测方法,二者的连接点在于树的递阶结构和空间发育的集群状态.分维可为城市演化树提供定量描述测度,而城市演化树可为分形城市理论提供实用的可视化技术. ...
Multifractal to monofractal evolution of the London street network
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2015
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
Cities evolution tree and applications to predicting urban growth
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2012
... 理论上的分形具有无穷层次,不同层次之间形成标度对称关系.分形系统的本质是一种递阶结构的等级体系(Frankhauser, 1998),这种等级体系联系着复杂的网络结构,并且暗示地理系统的空间循环细分(Batty et al, 1994; Goodchild et al, 1987).虽然分形特征表现为幂律关系,但基于自相似等级体系可以将一个幂律分解为一对指数律(陈彦光, 2008).这种指数律可以借助最大熵原理推导出来(Chen, 2012a).这暗示,分形系统演化的动力学源泉可以从熵最大化的角度得到理解.复杂社会经济系统的熵最大化不同于热力学熵增(Batty, 2010; Wilson, 2000, 2010).熵最大化的本质是寻求个体(如单个城市)间的公平与整体(如城市体系)效率之间的一种平衡与协调状态(Chen, 2015).单一的地理最大熵过程不会导致无尺度的分形,只能导致有尺度的负指数分布.但是,两个对偶的、可以相互匹配和制衡的最大熵过程(如城市频率分布最大熵和城市素规模分布最大熵)却会激发幂律分布,从而涌现出分形结构(Chen, 2012a; Chen, 2015).可见,分形演化的机理在于,对立统一的熵最大化过程通过自组织演化趋近复杂系统的结构优化.分形的等级结构具有树状特征(Batty et al, 1994; Mandelbrot, 1982).近年Wang等(2012)学者提出城市演化树的概念和分析技术,并将其用于城市生长预测.分形城市思想可望与城市演化树分析结合起来,发展新的城市解释理论和预测方法,二者的连接点在于树的递阶结构和空间发育的集群状态.分维可为城市演化树提供定量描述测度,而城市演化树可为分形城市理论提供实用的可视化技术. ...
Cellular automata and fractal urban form: A cellular modeling approach to the evolution of urban land-use patterns
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1993
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
Urban systems dynamics and cellular automata: Fractal structures between order and chaos
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1994
... 地理世界存在大量的没有特征尺度的现象,这类现象无法采用传统的数学方法有效刻画,但可以借助分形几何学描述其空间和统计特征.分形理论和方法在地理研究中的重要性正在日益凸显,并且越来越多的人开始重视分形和分维分析.在地理文献中,目前涉及4类常见的分形概念.其一是单分形(monofractal, unifractal),这是研究最多、应用最广的一类自相似分形(Lam et al, 1993; Batty et al, 1994; Frankhauser, 1994; 朱晓华, 2007);其二是双分形(bi-fractals),这类分形的概念有些含混,其性质引起了诸多误解(Benguigui et al, 1991; White et al, 1993, 1994);其三是多分形(multifractals),这是相对复杂、非常迷人而又容易令人望文生义、形成误解的一类分形(Appleby, 1996; Chen et al, 2004; 陈彦光, 2008; Ariza-Villaverde et al, 2013; Chen et al, 2013; Murcio et al, 2015);其四是自仿射(self-affine)分形,这类分形在现实中难以识别,在理论上容易与多分形混为一谈(Chen et al, 2009).由于对多分形的误解,人们常常将双对数坐标图上的曲线关系当成了多分形;由于对各向异性与生长概率的混淆,人们常常将自仿射现象当成了多标度现象.如果不将不同的分形类型和分维概念澄清,则研究者很难正确地借助分形建模和分维分析研究城市地理现象. ...
Complex spatial systems: The modelling foundations of urban and regional analysis
1
2000
... 理论上的分形具有无穷层次,不同层次之间形成标度对称关系.分形系统的本质是一种递阶结构的等级体系(Frankhauser, 1998),这种等级体系联系着复杂的网络结构,并且暗示地理系统的空间循环细分(Batty et al, 1994; Goodchild et al, 1987).虽然分形特征表现为幂律关系,但基于自相似等级体系可以将一个幂律分解为一对指数律(陈彦光, 2008).这种指数律可以借助最大熵原理推导出来(Chen, 2012a).这暗示,分形系统演化的动力学源泉可以从熵最大化的角度得到理解.复杂社会经济系统的熵最大化不同于热力学熵增(Batty, 2010; Wilson, 2000, 2010).熵最大化的本质是寻求个体(如单个城市)间的公平与整体(如城市体系)效率之间的一种平衡与协调状态(Chen, 2015).单一的地理最大熵过程不会导致无尺度的分形,只能导致有尺度的负指数分布.但是,两个对偶的、可以相互匹配和制衡的最大熵过程(如城市频率分布最大熵和城市素规模分布最大熵)却会激发幂律分布,从而涌现出分形结构(Chen, 2012a; Chen, 2015).可见,分形演化的机理在于,对立统一的熵最大化过程通过自组织演化趋近复杂系统的结构优化.分形的等级结构具有树状特征(Batty et al, 1994; Mandelbrot, 1982).近年Wang等(2012)学者提出城市演化树的概念和分析技术,并将其用于城市生长预测.分形城市思想可望与城市演化树分析结合起来,发展新的城市解释理论和预测方法,二者的连接点在于树的递阶结构和空间发育的集群状态.分维可为城市演化树提供定量描述测度,而城市演化树可为分形城市理论提供实用的可视化技术. ...
Entropy in urban and regional modelling: Retrospect and prospect
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2010
... 理论上的分形具有无穷层次,不同层次之间形成标度对称关系.分形系统的本质是一种递阶结构的等级体系(Frankhauser, 1998),这种等级体系联系着复杂的网络结构,并且暗示地理系统的空间循环细分(Batty et al, 1994; Goodchild et al, 1987).虽然分形特征表现为幂律关系,但基于自相似等级体系可以将一个幂律分解为一对指数律(陈彦光, 2008).这种指数律可以借助最大熵原理推导出来(Chen, 2012a).这暗示,分形系统演化的动力学源泉可以从熵最大化的角度得到理解.复杂社会经济系统的熵最大化不同于热力学熵增(Batty, 2010; Wilson, 2000, 2010).熵最大化的本质是寻求个体(如单个城市)间的公平与整体(如城市体系)效率之间的一种平衡与协调状态(Chen, 2015).单一的地理最大熵过程不会导致无尺度的分形,只能导致有尺度的负指数分布.但是,两个对偶的、可以相互匹配和制衡的最大熵过程(如城市频率分布最大熵和城市素规模分布最大熵)却会激发幂律分布,从而涌现出分形结构(Chen, 2012a; Chen, 2015).可见,分形演化的机理在于,对立统一的熵最大化过程通过自组织演化趋近复杂系统的结构优化.分形的等级结构具有树状特征(Batty et al, 1994; Mandelbrot, 1982).近年Wang等(2012)学者提出城市演化树的概念和分析技术,并将其用于城市生长预测.分形城市思想可望与城市演化树分析结合起来,发展新的城市解释理论和预测方法,二者的连接点在于树的递阶结构和空间发育的集群状态.分维可为城市演化树提供定量描述测度,而城市演化树可为分形城市理论提供实用的可视化技术. ...